Ta có  mặt phẳng (P) có VTPT 

Suy ra 

Mặt phẳng  α  đi qua P(2;0;-1) và nhận  làm một VTPT nên có phương trình  α : -7x + 11y + z + 15 = 0

Chọn C.

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(1;-2;1\right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\)

Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)\) có phương trình \(x-2y+z-2=0\)

Cho x, y là các số thỏa mãn \(x^2+y^2+xy=3\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3=xy\)

Vì \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\le4\)

Trắc nghiệm: thay tọa độ B vào 4 đáp án chỉ có duy nhất đáp án A thỏa mãn => chọn A

Tự luận:

\(\overrightarrow{BA}=\left(1;0;1\right)\) , \(M\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm AB

Mặt phẳng trung trực AB có pt:

\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+z-2=0\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(0;1;1\right)\) ; \(N\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm BC

Pt mp trung trực của BC:

\(1\left(y-\frac{1}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y+z-1=0\)

Tâm I của mặt cầu thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-2=0\\y+z-1=0\\x+y+z-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{BI}=\left(0;0;1\right)\Rightarrow R=BI=1\)

Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\)

Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\\x-5y-2=0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}26y^2+26y=0\\x=5y+2\end{cases}\)

                                            \(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\\\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}\end{cases}\)
\(\Rightarrow A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\) hoặc \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\)

Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của đường tròn (C). Hay tâm \(I\left(-1;2\right)\) là trung điểm của AC

Khi đó : \(A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\Rightarrow C\left(-4;4\right)\)

            \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\Rightarrow C\left(1;5\right)\)

Vậy \(C\left(-4;4\right)\) hoặc \(C\left(1;5\right)\)

Đáp án A.

Đáp án A

Đường thẳng d qua A ( 1 ; 2 ; − 3 )  và vuông góc (Q) có phương trình x = 1 + 3 t y = 2 + 4 t z = − 3 − 4 t .

Vì B = d ∩ P ⇒ B 1 + 3 t ; 2 + 4 t ; − 3 − 4 t ∈ P ⇒ t = − 1 ⇒ B − 2 ; − 2 ; 1

Ta có M ∈ P M A ⊥ M B ⇒ M  thuộc đường tròn giao tuyến của P  và mặt cầu S  (tâm I, đường kính AB)

Phương trình mặt cầu S là x + 1 2 2 + y 2 + z + 1 2 = 41 4 .  

Và  d I , P = 2. − 1 2 + 2.0 + 1 + 9 3 = 3

Khi đó B K = I B 2 − d 2 = 5 2  với K là tâm đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Để MB lớn nhất ⇔  MB là đường kính đường tròn giao tuyến ⇒ M B = 2 B K = 5 .

Chọn A.

Mặt phẳng (α) vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên có một VTPT là

Phương trình mặt phẳng (α) là:

1(x - 2) + 2(y + 1) + 1.(z - 5) = 0 hay x + 2y + z – 5 = 0